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发现真理！毕达哥拉斯定理研究

勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理，以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系，长时间以来，人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达300余种。很多老师对它的教学进行研究，这里我们将国内外的案例展示并对比分析，从中您可以得到一些启示。

发现真理！毕达哥拉斯定理研究
编译／齐　伟
发表于《信息技术教育》2005年8月

科目：数学

年级：6～8年级

 

目的

毕达哥拉斯定理（译者注：即勾股定理）是一个在数学中有着广泛用途的定理，在中学阶段，要求研究直角三角形的边长关系，毕达哥拉斯倍数（直角三角形三边长度为整数倍数），还有定理在生活实际中的应用。

主要活动包括：

◇借助操作裁剪的三角形和工具软件探究直角三角形边长和图形面积的关系。

◇帮助学生进行猜想，并且检验支持毕达哥拉斯定理的证据。

◇帮助学生将定理用于真实的情境中。

 

简介

学生可以通过裁纸、纸板或者利用动态几何工具软件，以长方形为基础构造出各种直角三角形。测量直角三角形的各边长度，并且记录到电子表格中，然后利用电子表格分析数据，总结出可能的规律，也可以将每个数据求平方，再研究它们的规律。

学生发现了毕达哥拉斯定理后，就用已经剪裁好的直角三角形或者动态工具软件进行验证，还要在网络中搜索更多的关于定理的证据。推而广之，用动态工具软件研究以直角三角形的各边为边长画出的其他图形间的特点。作为最后的活动，学生利用毕达哥拉斯定理估算学校校舍两点间的距离。

 

工具和资源

网站:

毕达哥拉斯定理:

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history//Diagrams/PythagorasTheorem.gif/

http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/java/html/pythagoras.html

http://geocities.com/CapeCanaveral/Launchpad/3740/

几何画板:http://www.keypress.com/

软件:电子表格、The Geometer’s Sketchpad（几何画板）或者Cabri Geometry

其他:车轮（用于测量较远的距离）、卷尺、纸板、三角板、剪刀、纸、铅笔

 

活动

1.3、4个学生一个小组，在纸或者纸板画一个长方形，然后由长方形裁剪出直角三角形。每个小组都测量他们所裁剪出的直角三角形三个边的长度，将测量结果填写到电子表格中。告诉学生直角三角形的长边叫做斜边，研究斜边和两个直角边长度的关系（译者注：中国古代数学中称斜边为弦，较短的直角边为勾，长的直角边为股）。

2.每个小组将他们的研究结果共享给全班其他同学。最好的情况是有学生提出计算各边长度的平方，并且将两个直角边长度的平方相加。如果没有，可以提示学生这样试一试。

3.利用几何画板或者其他动态工具软件绘制直角三角形，测量斜边和直角边的长度，分别求出长度的平方值，验证研究结果，然后改变各个边的长度，再进行验证，最终得出普遍适用的结论，如图1所示。学生还可以在几何画板中画以直角三角形各边为边长正方形，测量这些正方形的面积，然后研究这些面积值的关系，如图2所示。学生也应该研究非直角三角形的三个边是不是存在同样的关系。

4.作为一个探索，要让学生构造出以直角三角形边长为边长的其他正多边形（如正三角形、正五变形），如图3所示。测量它们的面积，研究这些面积值的关系。其教学目的在于让学生验证自己的猜想。当然，也可以构造以直角三角形边长为直径的半圆，如图4所示。

5.如果学生还没有发现毕达哥拉斯定理，可以在他们探究、猜测的基础上讲解定理的内容。然后，要求学生搜索毕达哥拉斯和他对数学发展的贡献，大量的网页中都有关于毕达哥拉斯的介绍，学生能够从中汲取很多信息。

6.学生用裁剪的纸板来证实毕达哥拉斯定理，并且在网站上查找到至少四种证明定理的实物证据，通过实物演示给其他同学，论证毕达哥拉斯定理。

7.集体讨论利用几何画板在动态变化过程中证明毕达哥拉斯的方法。

8.用毕达哥拉斯定理求直角坐标系中两点之间的距离。如果有学校的地图，就让学生利用定理在地图上计算校舍上两点之间的距离。然后利用车轮或者卷尺实地测量以此两点为顶点的矩形的边长，计算出两点间的直线距离是多少。

9.利用电子表格探究直角三角形三边长为整数的数值组，我们称之为“毕达哥拉斯倍数”。

 

评价

下面是评价的基本项目，可以在学习过程中使用。

小组研究报告

毕达哥拉斯定理表述

用实物演示的推理过程

用几何画板构造的动态论证

在测量两点间距离过程中对定理地应用

点评：这个学习活动最显著的特点是学生应用几何画板（或其他动态工具软件）回答各种“如果……”的问题，软件能够让学生们自己验证自己的发现的理论，奇妙的猜想和合乎逻辑的论据，让他们体验到了数学的魅力。另外，学生在课堂的交流和对定理的论证发言不仅让每个人能够展示自己地理解，也给其他人以学习的机会。电子表格和动态工具软件的使用使数学学习更简单、更令人着迷。

本文来源：http://cnets.iste.org/students/pf/pf_get_it_right.html

发布于10月28日 20:54 | 评论数(1) 阅读数(2919) | 我的文章

“机械波”教学活动设计

“波”随人动

——“机械波”教学活动设计

齐伟

《信息技术教育》2005年2月

简介：

机械波是高中物理中重要的运动形式。本课依托互动工具软件，对机械波的形成、特点，以及波长、振幅和周期等物理量进行探究，逐步引导学生在操作、观察、比较、总结活动中了解机械波的形成，理解波长、波速、频率的关系以及波动图像。

教学形式：

采用小组学习，要求每个学习小组有一台计算机，并能够运行本课中的互动程序。

教学用具：

u   实验用水盆、长绳子，纵波演示器

u   互动学习工具：互动程序1－水波和拉拉队；互动程序2－绳子上的波；互动程序3－纵波；互动程序4－横波和纵波比较；互动程序5－水波模型。

教学活动设计：

1．  水波和足球场上的啦啦队

水波是我们日常生活中经常看到的，不过你可能没有从科学的角度观察水波，在盆中放适量水，制造一个水波，仔细观察，你能不能回答这个水波是怎么产生的？

此外你有没有仔细观察过足球场上的拉拉队呢？那也能形成一种“波”——排山倒海般的“人浪”。

在“互动程序1”中你可以仔细观察水波，还可以亲自动手制造拉拉队的“人浪”。同时大胆猜测：这些波是在什么条件下形成的，并借助互动程序对你的结论进行辩护。

2．  机械波的形成

u   机械波是怎么形成的？用一根长绳，绳子的一端固定（或者一同学手持此端），一个同学手持另外一端，通过某种操作，使得绳子上形成波。仔细观察和思考：如何操作才能在绳子上形成波，这种操作有什么特点？

u   在“互动程序2”（如图1所示）中我们可以以虚拟的方式抖动一根绳子，也能够形成波。比较理想的情况是选择程序中的“Manual（手动）”，将“damping（阻力）”调为0，再选择“No End”，抖动绳子的一端，观察结果，并和同伴讨论完成下述问题：

¬     根据水波、“人浪”和绳子上的波，以及你在生活中遇到的其他波，尝试着给“机械波”下个定义，要求语言表述准确、精练。

¬     你能够总结出绳子上的机械波形成条件吗？根据你的经验，如何把这个条件推广到更一般的情况？

¬     绳子的端点和绳子中间部分的每个质点是不是在波传播的方向上（横向）移动，它们怎么运动？再结合前面的水波和“人浪”，你的观点是不是得到验证。

¬     画一张图，描摹绳子上的波的形态，并且标注出每个质点相对初始位置的位移、速度方向。你能否进一步推断加速度的方向？

 

u   为了进一步研究绳子上波的特点，我们选择下面的功能：Oscillate（振荡）。（其他的选项建议仿照同上。可以通过调解amplitude（振幅）和frequency（频率）改变绳子一端的振动状态。）建议探究下述项目（如图2所示）：

¬     是不是需要对前面你的作图进行重新修订？特别要注意一些特殊点：离开初始位置最远的点、又回到初始位置的点。

¬     观察圆盘上的点的和绳子端点的运动，你能够得出什么结论？改变圆盘上的点的运动频率（程序中的frequency）并注意记录下这个数据，再观察绳子端点的运动有什么变化？绳子上的其它各个质点的运动又有什么特点？

¬     再从波的传播方向上看，又有什么特点，程序中的“Ruler（尺子）”也许能够帮助你探索规律。

¬     波的传播方向和每个质点的振动方向关系如何？

 3.总结探究结果

各个学习小组发表自己的探究结果，教师和学生一起对各种结论进行评价总结，最后形成一致的概念：

u       机械波的产生条件。

u       机械波的特点，知道波峰、波谷的定义。

u       绳子上的波的特点和横波的定义。

u       波长、频率、振幅等物理量的定义和含义。

4． 继续研究：

u   利用互动程序中的直尺和计时工具深入研究绳子上波的传播速度，它和波长、波速、振幅中哪些物理量有关系，是什么关系。在全班范围发布小组研究方法和结果，让同学们和老师来评价。

u   在坐标系中严格的描绘出绳子上的机械波图像，讲一讲图像的物理含义，并指出波峰、波谷、振幅、波长以等物理量以及某个质点的速度、位移方向。根据波的传播特点和各个质点的振动特点，能不能根据图像确定波的传播方向？

u   尝试改变绳子末端的状态或者其它量，看看结果如何。

5．  研究纵波

绳子上的波是横波，还有一种波，我们叫做纵波。

5．1．实验演示纵波，仔细观察纵波的特点。

5．2．通过运行“互动程序3”（如图3所示），仿照前面的探究过程，研究纵波的特点。

u       纵波中质点运动特点。

u       纵波的传播方向和质点振动方向的关系。

u       指出纵波中的波长、波峰和波谷。

 

6.比较横波和纵波

学习了横波和纵波，比较两种波的异同，“互动程序4”（如图4所示）能够帮助你，利用它并综合前面的学习，尝试着用一张表格说明你的比较结果。

 

7.水波是什么？

在本课的开始我们就看到了水波，那么水波是很波还是纵波呢？还是亲自动手在“互动程序5”（如图5所示）中寻找答案。

 

网络课程资源

1．    机械波的教学资源推荐：

⑴http://jlzx.k12.com.cn/derup/page/search.php?q=%BB%FA%D0%B5%B2%A8

⑵http://www.sxgjzx.net.cn/zkwlw/ldjj/jxcd/jxcd.htm

⑶http://cai.tongji.edu.cn/wanluokecheng/index.htm

3．    机械波教材分析和教法研究

http://www.wxjyzx.com.cn/ReadNews.asp?NewsID=1122

4．    地震中的波

http://www.kepu.gov.cn/zlg/dz/dz1.htm

http://china.qianlong.com/4352/2003/08/18/1040@1545778.htm

http://www.fzdz.gov.cn/kpzs/zhongbo.htm

 

专题学习工具

1．    水波和拉拉队：http://www.hdwl.org/resource/l/l14/index.htm

2．    机械波（横波）的形成：http://www.hdwl.org/list.asp?unid=191

3．    纵波：http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cResource.dspDetail&ResourceID=32&CFID=491346&CFTOKEN=90002839

4．    比较横波和纵波：

http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=8335&forum=61&1

5．    水波模型：http://www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=8347&forum=61&1&nbs

发布于10月25日 19:53 | 评论数(1) 阅读数(2799) | 我的文章

简谐运动教学活动设计

简谐运动教学活动设计

 齐伟（编译）
《信息技术教育》2005年7月

度量时间

人们经常与时间为伍，并且努力的度量它。时间构造了他们的生命，从青春到老年，因为时间的重要性，人们期望能够有记录它脚步的工具。

大约公元前3500年发明了第一个计时工具，它是根据太阳的影子计时的，就像一个简单的日晷。1510年发明了第一个弹簧钟表，几年后，伽利略发现了单摆的周期性，并于1656年发明了第一个摆钟。

几个世纪过去了，人们制造了更多的钟表，从石英钟到原子钟、电子钟，然而所有的钟表都依据机械装置的恒久运动来度量时间。

活动设计

Ø         互动工具程序网址：

[http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cResource.dspDetail&ResourceID=44]

Ø         学习过程

不论是自然的还是人工制作的，很多物体都能够做恒定的周期性运动，这些物体都能够做为计时工具，比如简谐运动——它的运动有周期性——一种极好的度量时间的方法，就像白天和黑夜的交替。

下面我们学习简谐运动，并且通过操作单摆和弹簧振子理解运动的周期性。

程序中提供了简谐运动的两个典型模型——弹簧振子和单摆。你可以改变的物理量有：弹簧振子的质量（mass），弹簧的劲度系数（K）；单摆的摆长（length），单摆小球的质量（mass）；重力加速度（g）。

根据你自己的喜好设定好上面的各个物理量，利用计算机上提供的计时工具来测量简谐运动和单摆的周期。这需要你花费一定的时间来完成这些操作。

在测量出某中状态的下的周期之后，再改变某一个物理量（注意：一次只能改变一个物理量），测量这时的简谐运动周期，从而找出简谐运动周期和那些因素有关系。你能够发现单摆和弹簧振子之间有一些相同的现象，但是也有一些意想不到的区别。

为了帮助你研究周期的特点，请填写下面的表格，它能够帮助你有所发现。

弹簧振子		单摆
被改变的物理量	周期	被改变的物理量	周期

 

“祖父的座钟”

祖父的座钟——有摆的落地座钟，得名于Henry Work在1875年写的一句歌词，“啊，我祖父的座钟……”，虽然座钟的结构比单摆复杂，但是它的基本原理比你想象的要简单。

钟的摆锤上端连接一个物体，当摆锤摆动时，通过该物体带动齿轮，从而使表针能够嘀嗒嘀嗒的走。真实的单摆会由于阻力而逐渐的损耗能量，并且在钟表里还需要带动表针走动，则损失的能量就更多了。然而，座钟通过一对儿重物来补充能量。

一个重物和齿轮相连，给齿轮和表针的运动提供能量；另一个重物连接在发条上，这样就能够维持座钟走几天。用一个物体通过摆线带动摆锤轻轻的摆动也是为了克服摩擦力，能够使座钟按照固定的速度走。

推荐资源：

A Walk Through Time：http://physics.nist.gov/GenInt/Time/time.html
How Pendulum Clocks Work：http://www.howstuffworks.com/clock.htm

发布于10月23日 15:39 | 评论数(0) 阅读数(2229) | 我的文章

国外概念图应用案例

                      国外概念图应用案例
                《信息技术教育》杂志2003年第9期发表
本教学案例下载地址：http://www.inspiration.com/productinfo/Inspiration/resources/index.cfm?fuseaction=achieve

在该页面中找到下述内容，并选择“Gaining Momentum,”即可弹出本课案例。

将该课程案例翻译如下：

科目

高中科学

梗概

象牛顿运动定律那样，用简洁的公式表达运动规律是学习物理学科的根本。在这里我们通过构造一个动量的概念图，使学生建立起概念间的联系并再深化理解。

标准

提高学生对物体的本质属性及其位置、运动的理解

技能

l         协作

l         概念图

仪器

篮球、网球、乒乓球等各种球，用于演示动量、特别是动量的变化

教学

1.将学生分成若干双人小组，指导他们用米尺测量并记录球落在不同平面上过程中下落和反弹的高度。

2.告诉学生动量和他们所观测到的现象间的联系

3.提倡各组学生交换他们的记录，并且将有关信息用inspiration的图表进行表达。教师要循环检查学生的理解情况。

4.指导各组学生构造概念图，反映他们对动量的理解。

随后的活动

利用动量和能量守恒定律解决弹性和非弹性碰撞。

针对年龄偏小的学生

用实验演示完动量之后，讨论如何应用动量知识，例如在学习驾驶、跑步或者投掷时。

发布于10月18日 18:21 | 评论数(1) 阅读数(3392) | 我的文章

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